Gradientea: Norabidea eta Mailaren Geometria Funtzio Diferentziagarrietan
Kontsidera dezagun A ⊆ ℝn multzo irekia, f : A ⊆ ℝn → ℝ eta x0 ∈ A. Izan bedi f diferentziagarria x0-n, eta x0-n duen diferentziala zero ez dena, hau da, ∇f(x0) ≠ ϑ. Bektore unitario bat hartzen badugu, v = (v1, …, vn) ∈ ℝn, orduan Dvf(x0) = df(x0)(v) = ∇f(x0) · v = ∑i Dif(x0) vi. Beraz, ondorioztatzen da f-ren deribatu direkzionala maximoa duen norabidea ∇f(x0) gradientea dela.
Beste modu batean esanda, ∇f(x0) gradientea f funtzioaren gehikuntza maximoaren norabidea zehazten du x0 puntuan.
Interpretazio geometrikoa: bi aldagaitako funtzioak
Ikus dezagun orain beste interpretazio geometriko bat, lehenik bi aldagaitako funtzioetarako ikasiko duguna. Kontsidera dezagun A ⊆ ℝ2 multzo irekia eta f : A ⊆ ℝ2 → ℝ, A-n C1 klasekoa dena eta ∇f(x) ≠ ϑ, x ∈ A guztietarako.
Hartu c ∈ Im(f) eta P puntu bat {(x, y) ∈ A : f(x, y) = c} maila-multzoan. Suposatu c mailako maila-multzoak P puntutik pasatzen den γ kurba bat duela, C1 klasekoa eta α : t ∈ (a, b) → α(t) = (α1(t), α2(t)) ∈ ℝ2 parametrizazioarekin, non α(t0) = P.
Konposizioa f ◦ α : t ∈ (a, b) → f(α(t)) ∈ ℝ deribagarria da eta bere definizio-tartean konstantea, beraz, bere deribatua nulua da. Bereziki, f eta α diferentziagarriak direnez, (f ◦ α)′(t0) = ∇f(α(t0)) · α′(t0) = 0. Horrek esan nahi du ∇f(α(t0)) gradiente-bektorea α′(t0) bektorearekiko ortogonala dela, edo, beste modu batera esanda, ∇f(α(t0)) gradientea γ kurbarekiko P puntuko lerro tangentearekiko ortogonala dela.
Propietate honek lerro tangentea kalkulatzea ahalbidetzen du maila-multzo gisa definitutako kurba batean puntu batean, jakinik zein puntutatik pasatzen den eta bere bektore normala.
Hiru aldagaitako kasua: gainazalak
Bestalde, A ⊆ ℝ3 multzo irekia bada eta f : A ⊆ ℝ3 → ℝ, A-n C1 klasekoa eta ∇f(x) ≠ ϑ x ∈ A guztietarako, orduan Σ = {(x, y, z) ∈ A : f(x, y, z) = c} gainazal bat da (betiere c ∈ Im(f) bada).
Hartu P ∈ Σ, eta Σ-n P-tik pasatzen den edozein γ kurbarentzat, C1 klasekoa den α : t ∈ (a, b) → α(t) = (α1(t), α2(t), α3(t)) ∈ ℝ3 parametrizazioarekin, non α(t0) = P, betetzen da ∇f(α(t0)) α′(t0)-ekiko ortogonala dela.
Ondorioa
Beraz, P-tik pasatzen den eta ∇f(α(t0)) bektorearekiko ortogonala den Π planoa kontsidera dezakegu. P-ren auzoan, Σ Π planoa tangentea duen bi aldagaiko funtzio baten grafoa izango da.